Ts-240
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§
216[1]Bild liegt in einer Menge von Wendungen unserer Sprache, wird immer wieder von uns ausgesprochen; kein Wunder, wenn es große Gewalt über uns hat.)
A picture lies in a series of turns of our language; it is constantly uttered by us; no wonder that it has great power over us.
§
216[2]Es singt einer eine ihm wohl bekannte Melodie; wir unterbrechen ihn, und fragen dann: “Hast Du gewußt, wie es weiter geht; wolltest Du so fortsetzen, oder so?” Er antwortet: “Freilich wußte ich, wie es weiter geht und ich wollte natürlich so fortsetzen:…”. Es drängt sich uns das Bild auf, die Fortsetzungen der Melodie habe schon existiert, und zwar in uns, gleichsam hinter der Mundöffnung. Dies Bild wird verstärkt dadurch, daß wir nach der Unterbrechung noch ein Stückchen der Melodie mit dem innern Ohr hören und es ist, als sähen wir noch ein Stück der Reihe jener Töne entlang, die bereit lagen, ans Licht zu kommen. Und dies ist wieder ganz ähnlich dem, was beim Zählen vor sich geht, oder beim Anschreiben einer Reihe mit ‘Pünktchen’, die ‘u.s.w. ad inf.’ bedeuten.
Someone is singing a melody that is familiar to him; we interrupt him and then ask: “Did you know how it continues; did you want to continue it like this, or like that?” He answers: “Of course, I knew how it continues, and I naturally wanted to continue it like this:…”. The image is forced upon us that the continuations of the melody already exist, namely in us, as if behind the opening of the mouth. This image is reinforced by the fact that after the interruption, we still hear a bit of the melody with our inner ear, and it is as if we still see a piece of the series of those tones that were ready to come to light. And this is again very similar to what happens when counting, or when writing a series with ‘dots’ that mean ‘and so on, ad infinitum’.
§
216[3] &217[1]
“Es ist aber doch ein entscheidender Unterschied zwischen einem Reihenstück, welches ein bestimmtes Ende haben soll, und jenen Anfängen einer Reihe, die endlos ist, ich meine, ein (wesentlicher) Unterschied der Art in unserer Auffassung von dem hingeschriebenen Reihenstück. Endlos – möchte ich sagen – ist eben wirklich endlos. Und hier kann doch die Bedeutung nicht im Gebrauch bestehen, denn der Gebrauch ist ja endlich, und wenn man auf ihn schaut, so kommt man eben auf finitistische Gedanken! Sieht man aber auf die Bedeutung, das, was wir uns bei dem Wort denken, so sieht man, wovon hier die Mathematik redet.“ – Erstens, wenn Du sagst, der Gebrauch des Wortes ist ein endlicher, was heißt das? Wie sieht denn ein unendlicher Gebrauch aus? ‒ ‒ Also kann man wohl ‘endlich’ und ‘unendlich’ garnicht auf den Gebrauch eines Wortes anwenden. – Ist nun aber der Gebrauch, den wir von “u.s.w. ad inf.” machen, der gleiche, wie der, den wir von “u.s.w. ad 700” machen? Offenbar nein. Nur ist der Unterschied der Verwendung von: “u.s.w. ad 100” und “u.s.w. ad 700” nicht von der gleichen Art, wie der zwischen der Verwendung eines dieser Zeichen und des Zeichens “u.s.w. ad inf.”
“But there is, after all, a decisive difference between a series that is intended to have a specific end, and those beginnings of a series that are endless, I mean, an (essential) difference in the way in which we conceive of the written series. Endless – I would like to say – is really endless. And here the meaning cannot consist in the use, because the use is finite, and if you look at it, you end up with finitist thoughts! But if you look at the meaning, at what we think when we hear the word, then you see what mathematics is talking about.” – First, when you say that the use of the word is finite, what does that mean? What does an infinite use look like? ‒ ‒ So one can probably not apply ‘finite’ and ‘infinite’ to the use of a word. – Is the use we make of “and so on, ad inf.” the same as the use we make of “and so on, ad 700”? Apparently not. Only the difference in the use of “and so on, ad 100” and “and so on, ad 700” is not of the same kind as the difference between the use of one of these signs and the sign “and so on, ad inf.”
§
217[2]Wie (z.B. auch) die Verwendung der Befehle “zeichne ein Kreisstück vom Radius 25cm.”, “zeichne ein Kreisstück vom Radius 6cm.“ nicht von gleicher Art ist, wie die des Befehles: zeichne ein Kreisstück vom Radius α”. Im ersten & zweiten Fall benutzen wir einen Zirkel, im dritten ein Lineal.
As (for example) the use of the commands “draw a circular segment with a radius of 25cm”, “draw a circular segment with a radius of 6cm” is not of the same kind as that of the command: draw a circular segment with a radius of α”. In the first & second case, we use a compass; in the third, a ruler.
§
217[3] &218[1]
An der Verwendung des Wortes „endlos“, oder “unendlich”, ist weiter nichts zu beanstanden, als der Geist, in dem sie verwendet werden. Der Hokus–pokus, der, bei aller
scheinbaren Nüchternheit, in den Worten liegt, mit denen Mathematiker ihre Kalküle begleiten. Zeige uns statt der Bilder, Gebärden die dieses Wort und diese Sätze hervorrufen, ihre außer–mathematische Verwendung!
There is nothing more to be objected to in the use of the word “endless” or “infinite” than the spirit in which they are used. The hocus-pocus that, despite all apparent sobriety, lies in the words with which mathematicians accompany their calculi. Show us, instead of the pictures, the gestures that this word and these sentences evoke, their non-mathematical use!
§
218[2]Wenn man sich nun nach dem Gebrauch des Zeichens “a, a2, a3… ad inf.” umschaut, so fällt einem freilich auf, daß das Eigentümliche dieses Gebrauches ja nicht darin bestehen kann, daß er, in irgendeinem Sinne, ausgedehnter ist, als der, jener andern Zeichen Er unterscheidet sich eben nicht durch die ‘Länge’ von dem der begrenzten Reihenstücke.
If one now looks at the use of the sign “a, a2, a3… ad inf.”, one notices, of course, that the peculiarity of this use cannot consist in the fact that it is, in some sense, more extended than that of the other signs. It does not differ in ‘length’ from that of the limited series.