Bemerkungen über die Grundlagen der Mathematik – II
Remarks on the Foundations of Mathematics – II
German (epub, pdf) | German/English
1938–1939, 64 remarks, Ms-117, Ms-121
Do not quote from or cite this translation!
§Ms-117
97[3] &98[1]
1 ---
Ansätze
In wiefern beweist die Diagonalmethode, daß es eine Zahl gibt die – sagen wir – keine Quadratwurzel ist? –
Es ist natürlich äußerst leicht zu zeigen ‘daß es Zahlen gibt die keine Quadratwurzeln sind’ – aber wie zeigt es diese Methode?
[Ansätze]
Haben wir denn einen allgemeinen Begriff davon, was es heißt: zeigen daß es eine Zahl gibt die keine dieser unendlichen Menge ist? Denken wir, jemand hätte diese Aufgabe erhalten eine Zahl zu nennen die von allen ²√n verschieden ist; er hätte aber vom Diagonalverfahren nichts gewußt & hätte die Zahl ∛2 als Lösung genannt; & gezeigt daß sie keine ²√n ist. – Oder er hätte gesagt: nimm die √2 = 1˙4142 … & subtrahiere 1 von der ersten Dezimale, im übrigen aber sollen die Stellen mit √2 übereinstimmen 1˙3142 … kann keine √n sein.
--- Approaches
To what extent does the diagonal method provide a proof that there is a number that—let’s say—is not a square root? –
It is, of course, extremely easy to show ‘that there are numbers that are not square roots’—but how does this method demonstrate it?
[Approaches]
Do we have a general concept of what it means to show that there is a number that is not part of this infinite set? Suppose someone were given the task of naming a number that is different from all of ²√n; but they knew nothing of the diagonal method & named the number ∛2 as the solution; & showed that it is not ²√n. – Or he might have said: take √2 = 1.4142 … and subtract 1 from the first decimal place; otherwise, however, the digits must match those of √2. 1.3142 … cannot be √n.
§Ms-117
98[2]2 “Nenne mir eine Zahl die mit √2 an jeder zweiten Dezimalstelle übereinstimmt!” Was fordert diese Aufgabe? – Die Frage ist: ist sie befriedigt durch die Antwort: Es ist die Zahl die man nach der Regel erhält: entwickle √2 & addiere 1 oder ‒ 1 zu jeder zweiten Dezimalstelle? Es ist ebenso wie die Aufgabe: Teile einen Winkel in 3 Teile dadurch als gelöst betrachtet werden kann, daß man 3 gleiche Winkel an einander legt.
“Name a number that matches √2 at every second decimal place!” What does this task require? – The question is: is it satisfied by the answer: It is the number that is obtained according to the rule: develop √2 & add 1 or ‒ 1 to each second decimal place? It is just like the task: divide an angle into 3 parts, which can be considered solved by placing 3 equal angles next to each other.
§Ms-117
99[1]3 [Ansätze]
Wenn einem auf die Aufforderung: “Zeige mir eine Zahl die von allen diesen verschieden ist”, die Diagonalregel zur Antwort gegeben wird, warum soll er nicht sagen: “Aber so hab ich's ja nicht gemeint!”? Was Du mir gegeben hast ist eine Regel Zahlen sukzessive herzustellen, die von jeder von diesen nach der Reihe verschieden sind. “Aber warum willst Du das nicht auch eine Methode nennen, eine Zahl zu kalkulieren?” – Aber was ist hier die Methode des Kalkulierens & was das Kalkulierte? Du wirst sagen sie seien eins, denn man kann nun z.B. sagen: die Zahl D ist größer als … & kleiner als …; man kann sie quadrieren etc. etc.. Ist die Frage nicht eigentlich: Wozu kann man diese Zahl brauchen. Ja, das klingt sonderbar. – Aber es heißt eben in welcher mathematischen Umgebung steht sie.
[Approaches]
If, when asked to “Show me a number that is different from all of these,” the diagonal rule is given as the answer, why should he not say: “But that is not what I meant!”? What you have given me is a rule for successively producing numbers that are different from each of these in turn. “But why don’t you also call this a method for calculating a number?” – But what is the method of calculation here & what is the calculated result? You will say they are one, because one can now, for example, say: the number D is greater than … & less than …; one can square it, etc. etc. Is the question not actually: What can this number be used for? Yes, that sounds strange. – But it simply means in what mathematical environment it stands.
§Ms-117
99[3] &100[1]
4 [Ansätze]
Ich vergleiche also Methoden des Kalkulierens. – Aber da gibt es ja sehr verschiedene Methoden des Vergleichens. Ich soll aber in irgend einem Sinne die Resultate der Methoden mit einander vergleichen. Aber da wird schon alles unklar, denn in einem Sinne haben sie nicht jede ein Resultat, oder es ist nicht von vornherein klar was hier in jedem Falle als das Resultat zu betrachten ist. Ich will sagen es ist hier jede Gelegenheit gegeben die Bedeutungen zu drehen & zu wenden. –
[Approaches]
So I am comparing methods of calculation. – But there are, of course, very different methods of comparison. I am supposed, however, in some sense compare the results of the methods with one another. But that’s where everything becomes unclear, because in a certain sense not every method yields a result, or it is not clear from the outset what is to be regarded as the result in each case. I mean to say that here there is every opportunity to twist and turn the meanings. –
§Ms-117
100[2]5 Sagen wir einmal – nicht: “Die Methode gibt ein Resultat”, sondern: “sie gibt eine unendliche Reihe von Resultaten”. Wie vergleiche ich unendliche Reihen von Resultaten? Ja, da gibt es sehr Verschiedenes, was ich so nennen kann.
Let's say – not: “The method gives a result,” but: “it gives an infinite series of results.” How do I compare infinite series of results? Yes, there are very different things that I can call that.
§Ms-117
100[3]6 Es heißt hier immer: Blicke weiter um Dich!
It always says here: Look further around you!
§Ms-117
100[4] &101[1]
7 [Ansätze]
Das Resultat einer Kalkulation in der Wortsprache ausgedrückt ist mit Mißtrauen zu betrachten. Die Rechnung beleuchtet die Bedeutung des Wortausdrucks. Sie ist das feinere Instrument zur Bestimmung der Bedeutung. Willst Du wissen was der Wortausdruck bedeutet, so schau auf die Rechnung; nicht umgekehrt. Der Wortausdruck wirft nur einen matten allgemeinen Schein auf die Rechnung; die Rechnung aber ein grelles Licht auf den Wortausdruck. (Als wolltest Du die Höhen zweier Berge nicht durch Höhenmessung vergleichen sondern durch ihr scheinbares Verhältnis wenn man sie von unten anschaut.)
[Approaches]
The result of a calculation expressed in word-language must be viewed with suspicion. The calculation sheds light on the meaning of the verbal expression. It is the finer instrument for determining meaning. If you want to know what the verbal expression means, look at the calculation; not the other way around. The verbal expression casts only a dim, general glow on the calculation; the calculation, however, casts a glaring light on the verbal expression. (As if you wanted to make a comparison of the heights of two mountains not by measuring their heights but by their apparent ratio when viewed from below.)
§Ms-117
101[2]8 ‘Ich will Dich eine Methode lehren wie Du in einer Entwicklung allen diesen Entwicklungen nach der Reihe ausweichen kannst.’ So eine Methode ist das Diagonalverfahren. – “Also erzeugt sie eine Reihe, die von allen diesen verschieden ist.” Ist das richtig? – Ja; wenn Du nämlich diese Worte auf diesen, oben beschriebenen Fall anwenden willst.
‘I want to teach you a method of how, in a sequence, you can avoid all these sequences.’ Such a method is the diagonal method. – “So it generates a sequence that is different from all of these.” Is that correct? – Yes; if you want to apply these words to the case described above.
§Ms-117
101[3] &102[1]
9 [Ansätze]
Wie wäre es mit dieser Konstruktionsmethode: Die Diagonalzahl wird durch Addition oder Subtraktion von 1 erzeugt, aber ob zu addieren oder zu subtrahieren ist erfährt man erst, wenn man die ursprüngliche Reihe um mehrere Stellen fortgesetzt hat. Wie wenn man nun sagte: die Entwicklung der Diagonalreihe holt die Entwicklung der andern Reihen nie ein; – gewiß die Diagonalreihe weicht jeder der Reihen aus wenn sie sie trifft, aber das nützt ihr nichts da die Entwicklung der andern Reihen ihr wieder voraus ist. Ich kann hier doch sagen: es gibt immer eine der Reihen für die nicht bestimmt ist ob sie von der Diagonalreihe verschieden ist oder nicht. Man kann sagen: sie laufen einander ins Unendliche nach aber immer die ursprüngliche Reihe voran. “Aber Deine Regel reicht doch schon in's Unendliche, also weißt Du doch schon genau daß die Diagonal-Reihe von jeder andern verschieden sein wird!”– – –
[Approaches]
How about this construction method: The diagonal number is generated by adding or subtracting 1, but whether to add or subtract is only known once the original series has been continued for several terms. As if one were to say: the development of the diagonal series never catches up with the development of the other series; – certainly the diagonal series evades each of the series when it encounters them, but that does it no good since the development of the other series is ahead of it again. I can say here, however: there is always one of the series for which it is not determined whether it differs from the diagonal series or not. One can say: they pursue one another to infinity, but the original series is always ahead. “But your rule already extends to infinity, so you already know for certain that the diagonal series will differ from every other one!”– – –
§Ms-117
102[2] &103[1]
10 [Ansätze]
Es heißt nichts zu sagen: “Also sind die X-Zahlen nicht abzählbar”. Man könnte etwa sagen: Den Zahlbegriff X nenne ich unabzählbar, wenn festgesetzt ist, daß, welche der unter ihn fallenden Zahlen immer Du in eine Reihe bringst die Diagonalzahl dieser Reihe auch unter ihn fällt.
[Approaches]
It means nothing to say: “Therefore, the X-numbers are uncountable.” One could say, for example: I call the set of numbers X uncountable if it is established that, whichever numbers falling under it you arrange in a sequence, the diagonal number of that sequence also falls under it.
§Ms-117
103[2] &103[3] &
104[1]
11 [Ansätze]
Da meine Zeichnung ja doch nur die Andeutung der Unendlichkeit ist, warum muß ich so zeichnen:
& nicht so:
Hier haben wir eben verschiedene Bilder; & ihnen entsprechen verschiedene Redeweisen. Aber kommt denn dabei etwas Nützliches heraus, wenn wir über ihre Berechtigung streiten? Das Wichtige muß doch woanders liegen; wenn auch diese Bilder unsre Phantasie am stärksten erhitzen.
[Approaches]
Since my drawing is, after all, only a suggestion of infinity, why must I draw it this way:
& not this way:
Here we simply have different images; & they correspond to different ways of speaking. But does anything useful come of it when we argue about their validity? The important thing must lie elsewhere; even if these images most strongly stir our imagination.
§Ms-117
104[2]12 Wozu läßt sich der Begriff ‘unabzählbar’ verwenden?
What can the concept ‘uncountable’ be used for?
§Ms-117
104[3]13 Man könnte doch sagen– wenn Einer tagaus tagein versuchte ‘alle Irrationalzahlen in eine Reihe zu bringen’: “Laß das! es heißt nichts; siehst Du nicht: wenn Du eine Reihe aufgestellt hättest, so käme ich Dir mit der Diagonalreihe!” Das könnte ihn von seiner Beschäftigung abbringen. Nun, das wäre ein Nutzen. Und mir kommt vor das wäre auch der ganze & eigentliche Zweck dieser Methode. Sie bedient sich des vagen Begriffes dieses Menschen, der gleichsam idiotisch drauflos arbeitet & bringt ihn durch ein Bild zur Ruhe. (Man könnte ihn aber durch ein andres Bild auch wieder zur Weiterführung seines Unternehmens bringen.)
One could say – if someone tried day after day to ‘bring all irrational numbers into a sequence’: “Stop! it means nothing; don't you see: if you had set up a sequence, I would come to you with the diagonal sequence!” That might distract him from his work. Well, that would be a use. And it seems to me that that would also be the whole & proper purpose of this method. It makes use of the vague concept of this person, who works away in a kind of idiotic manner, & brings him to rest through an image. (But one could also bring him to continue his work through another image.)
§Ms-117
105[1]14 Die Methode führt etwas vor, – was man auf sehr vage Weise die Demonstration davon nennen kann, daß sich diese Rechnungsmethoden nicht in eine Reihe ordnen lassen. Und die Bedeutung des “diese” ist hier eben vag gehalten.
The method demonstrates something – what one can in a very vague way call the demonstration that these methods of calculation cannot be arranged in a sequence. And the meaning of “these” is kept vague here.
§Ms-117
105[2]15 Ein gescheiter Mann hat sich in diesem Sprachnetz gefangen: Also muß es ein interessantes Sprachnetz sein.
A clever man has become caught in this web of language: So it must be an interesting web of language.
§Ms-117
105[3] &106[1] &
107[1]
16 Der Fehler beginnt damit daß man sagt die Kardinalzahlen ließen sich in eine Reihe ordnen. Welchen Begriff hat man denn von diesem Ordnen? Ja man hat natürlich einen von einer endlichen Reihe, aber das gibt uns ja hier höchstens eine vage Idee einen Leitstern für die Bildung eines Begriffs.) Der Begriff selbst ist ja von dieser & einigen andern Reihen abstrahiert; oder: der Ausdruck bezeichnet eine gewisse Analogie von Fällen & man kann ihn etwa dazu benützen um ein Gebiet, von dem man reden will vorläufig abzugrenzen. Damit ist aber nicht gesagt, daß die Frage einen klaren Sinn hat: “Ist die Menge R. in eine Reihe zu ordnen?” Denn diese Frage bedeutet nun etwa: Kann man mit diesen Gebilden etwas tun was dem Ordnen der Kardinalzahlen in eine Reihe entspricht. Wenn man also fragt: “Kann man die Reellen Zahlen in eine Reihe ordnen?” So könnte die gewissenhafte Antwort sein: “Ich kann mir vorläufig gar nichts Genaues darunter vorstellen”. – “Aber Du kannst doch z.B. die Wurzeln & die algebraischen Zahlen in eine Reihe ordnen; also verstehst Du doch den Ausdruck!” – Richtiger gesagt ich habe hier gewisse analoge Gebilde, die ich mit dem gemeinsamen Namen “Reihen” benenne. Aber ich habe noch keine sichere Brücke von diesen Fällen zu dem ‘aller reellen Zahlen’. Ich habe auch keine allgemeine Methode um zu versuchen ob sich die oder die Menge ‘in eine Reihe ordnen läßt’. Nun zeigt man mir das Diagonalverfahren & sagt: “hier hast Du nun den Beweis, daß dieses Ordnen hier nicht geht”. Aber ich kann antworten: “Ich weiß – wie gesagt – nicht, was es ist, was hier nicht geht.” Wohl aber sehe ich: Du willst einen Unterschied zeigen in der Verwendung von “Wurzel”, “algebraische Zahl”, etc. einerseits & “reelle Zahl” anderseits. Und zwar etwa so: Die Wurzeln nennen wir “reelle Zahlen” & die Diagonalzahl, die aus den Wurzeln gebildet ist auch. Und ähnlich mit allen Reihen reeller Zahlen. Daher hat es keinen Sinn von einer “Reihe aller reellen Zahlen” zu reden, weil man ja auch die Diagonalzahl der Reihe eine “reelle Zahl” nennt. – Wäre das nicht etwas ähnlich, wie wenn man gewöhnlich jede Reihe von Büchern selbst ein Buch nennte & nun sagte: “Es hat keinen Sinn von ‘der Reihe aller Bücher’ zu reden, da jede Reihe selbst ein Buch ist.”
The mistake begins with saying that the cardinal numbers can be arranged in a series. What concept does one have of this arrangement? Yes, one naturally has that of a finite series, but that gives us at most a vague idea, a guiding star for the formation of a concept.) The concept itself is, after all, abstracted from this and some other sequences; or: the expression denotes a certain analogy of cases, and one can use it, for example, to provisionally delimit a domain one wants to discuss. But this does not mean that the question has a clear sense: “Can the set R be arranged in a sequence?” For this question now has a meaning that is similar to: Can one do something with these structures that corresponds to ordering the cardinal numbers into a sequence? So if one asks: “Can the real numbers be ordered into a sequence?” The honest answer might be: “I can’t imagine anything precise by that at the moment.” – “But you can, for example, arrange the roots and the algebraic numbers in a sequence; so you do have some understanding of the expression!” – More correctly, I have here certain analogous structures that I name “sequences.” But I do not yet have any certainty about a bridge from these cases to the ‘set of all real numbers.’ I also have no general method to test whether this or that set ‘can be arranged in a sequence.’ Now one shows me the diagonal method and says: “Here you have the proof that this arrangement does not work.” But I can reply: “I do not know—as I said—what it is that does not work here.” However, I do see that you will show a distinction in the use of “root,” “algebraic number,” etc., on the one hand, and “real number” on the other. Namely, something like this: We call the roots “real numbers,” and the diagonal number formed from the roots as well. And similarly with all sequences of real numbers. Therefore, it makes no sense to speak of a “sequence of all real numbers,” because one also calls the diagonal number of the sequence a “real number.” – Wouldn’t that be somewhat similar to if one usually called every sequence of books a book itself and now said: “It makes no sense to speak of ‘the sequence of all books,’ since every sequence is itself a book.”
§Ms-117
107[2] &108[1]
17 Es ist hier sehr nützlich sich vorzustellen, daß das Diagonalverfahren zur Erzeugung einer reellen Zahl längst vor der Erfindung der Mengenlehre bekannt & auch den Schulkindern geläufig gewesen wäre, wie es ja sehr wohl hätte sein können. So wird nämlich der Aspekt der Entdeckung Cantors geändert. Diese Entdeckung hätte sehr wohl bloß in der Interpretation dieser altbekannten, elementaren Rechnung liegen können.
It is very useful here to imagine that the diagonal method for generating a real number had been known long before the invention of set theory—and had also been familiar to schoolchildren—as it very well could have been. For this changes the aspect of Cantor’s discovery. This discovery could very well have consisted merely in the interpretation of this long-known, elementary calculation.
§Ms-117
108[2]18 Die Rechnung selbst ist ja nützlich. Die Aufgabe wäre etwa: Schreibe eine Dezimalzahl an die verschieden ist von den Zahlen:
Man denke sich eine lange Reihe.
Das Kind denkt sich: Wie soll ich das machen ich müßte ja auf alle die Zahlen zugleich schauen um zu vermeiden daß ich nicht doch eine von ihnen anschreibe. Die Methode sagt nun: durchaus nicht; ändere die erste Stelle der ersten Zahl, die zweite der zweiten, etc. etc. & Du bist sicher eine Zahl hingeschrieben zu haben, die mit keiner der gegebenen übereinstimmt. Die Zahl die man so erhält könnte immer die Diagonalzahl genannt werden.
The calculation itself is useful. The task would be something like: Write a decimal number that is different from the numbers:
One imagines a long sequence.
The child thinks: How am I supposed to do that? I would have to look at all the numbers at the same time in order to avoid writing down one of them. The method now says: not at all; change the first digit of the first number, the second of the second, etc. & you can be sure that you have written down a number that does not match any of the given ones. The number that one obtains in this way could always be called the diagonal number.
§Ms-117
108[3] &109[1]
19 Das Gefährliche, Täuschende, der Fassung “Man kann die reellen Zahlen nicht in eine Reihe ordnen” oder gar “Die Menge … ist nicht abzählbar” liegt darin, daß sie das was eine Begriffsbestimmung Begriffsbildung ist als eine Naturtatsache erscheinen lassen.
The dangerous, misleading aspect of the formulation “One cannot arrange the real numbers in a sequence” or even “The set … is not countable” lies in the fact that it makes what is a definition, a formation of concepts, appear as a fact of nature.
§Ms-117
109[2]20 Bescheiden heißt der Satz: “Wenn man etwas eine Reihe reeller Zahlen nennt, so heißt die Entwicklung des Diagonalverfahrens auch eine ‘reelle Zahl’ & zwar eine die ‘von allen Gliedern der Reihe verschieden’ sei.
The modest formulation would be: “If one calls something a sequence of real numbers, then the development of the diagonal method is also a ‘real number’ & namely one that is ‘different from all the members of the sequence’.”
§Ms-117
109[3]21 Unser Verdacht sollte immer rege sein, wenn ein Beweis mehr beweist, als seine Mittel ihm erlauben. Man könnte so etwas einen ‘prahlerischen Beweis’ nennen.
Our suspicion should always be aroused when a proof proves more than its means allow it to. One could call such a thing a ‘boastful proof’.
§Ms-117
109[4] &110[1]
22 Der gebräuchliche Ausdruck fingiert einen Vorgang eine Methode des Ordnens die hier zwar anwendbar ist aber nicht zum Ziele führt wegen der Zahl der Gegenstände die größer ist als selbst die der Kardinalzahlen. Wenn gesagt würde: “Die Überlegung über das Diagonalverfahren zeigt Euch, daß der Begriff ‘reelle Zahl’ viel weniger Analogie mit dem Begriff Kardinalzahl hat, als man, durch gewisse Analogien verführt, zu glauben geneigt ist” so hätte das einen guten & ehrlichen Sinn. Es geschieht aber gerade das Gegenteil: indem die ‘Menge’ der reellen Zahlen angeblich der Größe nach mit der der Kardinalzahlen verglichen wird. Die Artverschiedenheit der beiden Konzeptionen wird durch eine schiefe Ausdrucksweise als Verschiedenheit der Ausdehnung dargestellt. Ich glaube & hoffe eine künftige Generation wird über diesen Hokus Pokus lachen.
The usual expression feigns a process, a method of ordering, which is indeed applicable here but does not lead to the goal because of the number of objects, which is greater than even that of the cardinal numbers. If one were to say: “The consideration of the diagonal method shows you that the concept ‘real number’ has much less analogy with the concept of cardinal number than one is inclined to believe, seduced by certain analogies,” then that would have a good & honest sense. But instead, the opposite happens: by allegedly comparing the ‘set’ of real numbers in terms of size with that of the cardinal numbers. The difference in kind between the two conceptions is presented as a difference in extension through a misleading expression. I believe & hope that a future generation will laugh at this hocus pocus.
§Ms-121
27r[4] &27v[1]
23 30.05.1938
Die Krankheit einer Zeit heilt sich durch eine Veränderung in der Lebensweise der Menschen & die Krankheit der philosophischen Probleme konnte nur durch eine veränderte Denkweise & Lebensweise geheilt werden nicht durch eine Medizin die ein Einzelner erfand. Denke, daß der Gebrauch des Wagens gewisse Krankheiten hervorruft oder begünstigt & die Menschheit von dieser Krankheit geplagt wird, bis sie sich, aus irgendwelchen Ursachen, als Resultat irgendeiner Entwickelung, das Fahren wieder abgewöhnt.
30.05.1938
The ailment of an era is cured by a change in people’s way of life, and the ailment of philosophical problems could only be cured by a changed way of thinking & way of life, not by a medicine that a single person invented. Consider that the use of the car causes or promotes certain illnesses, and humanity suffers from this illness until it, for whatever reasons, as a result of some development, ceases to drive.
§Ms-121
28v[2]24 31.05.1938
Wie macht man denn von dem Satz Verwendung: “Es gibt keine größte Kardinalzahl”? Wann, & bei welcher Gelegenheit, würde man ihn sagen? Diese Verwendung ist jedenfalls eine ganz andere, als die des mathematischen Satzes “25 × 25 = 625”.
31.05.1938
How does one make use of the sentence: “There is no largest cardinal number”? When, and on what occasion, would one say it? This use is in any case quite different from that of the mathematical sentence “25 × 25 = 625”.
§Ms-121
28v[3] &29r[1]
25 Vor allem ist zu bemerken, daß wir dies überhaupt fragen, was darauf deutet, daß die Antwort nicht (ganz) auf der Hand liegt. Und ferners, wenn man die Frage rasch beantworten will gleitet man leicht aus. Es ist hier ähnlich wie mit der Frage, welche Erfahrung uns zeigt, daß unser Raum dreidimensional ist.
First of all, it should be noted that we ask this at all, which suggests that the answer is not (entirely) obvious. And furthermore, if one wants to answer the question quickly, one easily makes a mistake. It is similar here to the question of what experience shows us that our space is three-dimensional.
§Ms-121
29r[2]26 Von einer Erlaubnis sagen wir, sie habe kein Ende.
Of a permission we say that it has no end.
§Ms-121
29r[3]27 Und man kann sagen, die Erlaubnis Sprachspiele mit Kardinalzahlen zu spielen habe kein Ende. Dies würde man etwa Einem sagen, dem wir unsere Sprache & Sprachspiele lehrten. Es wäre also wieder ein grammatischer Satz, aber von ganz anderer Art als “25 × 25 = 625”. Er wäre aber von großer Bedeutung, wenn der Schüler etwa geneigt wäre (vielleicht weil er einer ganz andern Kultur erzogen worden wäre) ein definitives Ende dieser Reihe von Sprachspielen zu erwarten.
And one can say that the permission to play language-games with cardinal numbers has no end. This would be said to someone to whom we were teaching our language & language-games. So it would again be a grammatical sentence, but of a quite different kind than “25 × 25 = 625”. But it would be of great importance if the student were inclined (perhaps because he was raised in a very different culture) to expect a definitive end to this series of language-games.
§Ms-121
35v[3]28 10.06.1938
Warum sollen wir sagen: die Irrationalzahlen können nicht geordnet werden? – Wir haben eine Methode, jede Ordnung zu zerstören.
10.06.1938
Why should we say: the irrational numbers cannot be ordered? – We have a method for destroying every order.
§Ms-121
36r[2] &36v[1]
29 Das Cantorsche Diagonalverfahren zeigt uns nicht eine Irrationalzahl die vor allen im System verschieden ist, aber es gibt dem mathematischen Satz Sinn die Zahl so & so sei von allen des Systems verschieden. Cantor könnte sagen: Du kannst dadurch beweisen, daß eine Zahl von allen des Systems verschieden ist, daß Du beweist, daß sie in der ersten Stelle von der ersten Zahl, in der zweiten Stelle von der zweiten Zahl u.s.f. verschieden ist. Cantor sagt etwas über die Multiplizität des Begriffs “Reelle Zahl, verschieden von allen eines Systems.”
Cantor's diagonal argument does not show us an irrational number that is different from all in the system, but it gives the mathematical sentence meaning that the number so and so is different from all of the system. Cantor could say: You can thereby prove that a number is different from all of the system by proving that it is different from the first number in the first position, from the second number in the second position, and so on. Cantor says something about the multiplicity of the concept “Real number, different from all of a system.”
§Ms-121
36v[2]30 12.06.1938
Cantor zeigt, wenn wir ein System von Extensionen haben, daß es dann Sinn hat, von einer Extension zu reden, die von ihnen allen verschieden ist. – Aber damit ist die Grammatik des Wortes “Extension” noch nicht bestimmt.
12.06.1938
Cantor shows that, if we have a system of extensions, then it makes sense to talk about an extension that is different from them all. – But this does not yet determine the grammar of the word “extension.”
§Ms-121
36v[3] &37r[1]
31 Cantor gibt dem Ausdruck “Extension die von allen Extensionen eines Systems verschieden ist” einen Sinn indem er sagt, eine Extension solle so genannt werden, wenn von ihr bewiesen werden kann, daß sie von den Extensionen eines Systems diagonal verschieden ist.
Cantor gives the expression “extension that is different from all extensions of a system” meaning by saying that an extension should be called so if it can be proven that it is diagonally different from the extensions of a system.
§Ms-121
37r[2]32 Es gibt also eine Aufgabe: Finde eine Zahl deren Entwicklung von denen dieses Systems diagonal verschieden ist.
There is therefore a task: Find a number whose development is diagonally different from those of this system.
§Ms-121
38v[1]33 13.06.1938
Man könnte sagen: Außer den rationalen Punkten befinden sich auf der Zahlenlinie diverse Systeme irrationaler Punkte. Es gibt kein System der Irrationalzahlen – aber auch kein Über-System, keine ‘Menge der irrationalen Zahlen’ von einer Unendlichkeit höherer Ordnung.
June 13, 1938
One could say: Apart from the rational points, there are various systems of irrational points on the number line. There is no system of irrational numbers – but also no super-system, no ‘set of irrational numbers’ of a higher order of infinity.
§Ms-121
38v[2] &39r[1]
34 Cantor definiert eine Verschiedenheit höherer Ordnung nämlich eine ‘Verschiedenheit’ einer Entwicklung von einem System von Entwicklungen. Man kann diese Erklärung so benützen, daß man zeigt daß eine Zahl in diesem Sinne von einem System von Zahlen verschieden ist: sagen wir π von dem System der algebraischen Zahlen. Aber wir können nicht gut sagen, die Regel, die Stellen in der Diagonale so & so zu verändern, sei dadurch als von den Regeln des Systems verschieden bewiesen, weil diese Regel selbst ‘höherer Ordnung’ ist denn sie handelt von der Veränderung eines Systems von Regeln & daher aber ist es von vornherein nicht klar, in welchem Fall wir die Entwickelung so einer Regel von allen Entwicklungen des Systems verschieden erklären wollen.
Cantor defines a difference of higher order, namely a ‘difference’ of a development from a system of developments. One can use this explanation in such a way that one shows that a number is different from a system of numbers in this sense: say π from the system of algebraic numbers. But we cannot say well that the rule, which changes the digits in the diagonal in such and such a way, is proven to be different from the rules of the system, because this rule itself is ‘of higher order’ because it deals with the change of a system of rules & therefore it is not clear from the outset, in which case we want to explain the development of such a rule as different from all the developments of the system.
§Ms-121
41v[2] &42r[1]
35 12.07.1938
‘Diese Überlegungen können uns dahin führen, zu sagen, daß ’. D.h.: wir können die Überlegungen uns dahin führen lassen. Oder: Wir können dies sagen, & dies als Grund dafür angeben. Aber wenn wir es nun sagen – was ist weiter damit anzufangen? In welcher Praxis ist dieser Satz verankert?
Er ist vorläufig ein Stück mathematischen Gerüsts, das in der Luft hängt, so aussieht als wäre es, sagen wir, ein Architrav, aber von nichts getragen wird & nichts trägt.
July 12, 1938
‘These considerations can lead us to say that ’. That is to say: we can allow the considerations to lead us there. Or: We can say this, & give this as the reason for it. But if we now say it—what are we to do with it next? In what practice is this sentence anchored?
For the time being, it is a piece of mathematical scaffolding hanging in the air, looking as if it were, say, an architrave, but supported by nothing & supporting nothing.
§Ms-121
42r[2]36 Gewisse Überlegungen können uns dahin führen, zu sagen daß 10¹⁰ Seelen in einem cm³ Platz haben. Warum sagen wir es aber trotzdem nicht? Weil es zu nichts nütze ist. Weil es zwar ein Bild heraufruft, aber eins, womit wir weiter nichts machen können.
Certain considerations could lead us to say that 10¹⁰ minds can fit into 1 cm³. Why, however, do we not say it? Because it is of no use. Because it does indeed evoke an image, but one with which we cannot do anything further.
§Ms-121
42r[3]37 Der Satz gilt soviel, als seine Gründe gelten. Er trägt soviel, wie seine Gründe tragen, die ihn stützen.
The sentence is as valid as its reasons are valid. It carries as much as its reasons carry, which support it.
§Ms-121
43r[1] &43v[1] &
44r[1] &
44v[1]
38 Eine interessante Frage ist: Welchen Zusammenhang hat ℵ0 mit den Kardinalzahlen, deren Zahl es sein soll? ℵ0 wäre offenbar das Prädikat “endlose Reihe”, in seiner Anwendung auf die Reihe der Kardinalzahlen & ähnliche mathematische Bildungen. Es ist hier wichtig, das Verhältnis zwischen einer Reihe im nicht-mathematischen Sinn & einer im mathematischen Sinn zu erfassen. Es ist natürlich klar, daß wir in der Mathematik das Wort “Zahlenreihe” nicht im Sinne von “Reihe von Zahlzeichen” gebrauchen, wenn, natürlich, auch ein Zusammenhang zwischen dem Gebrauch des einen Ausdrucks & des andern besteht. Eine Eisenbahn ist nicht ein Eisenbahnzug; sie ist auch nicht etwas einem Eisenbahnzug ähnliches. Reihe im mathematischen Sinn ist eine Konstruktionsart für Reihen sprachlicher Ausdrücke. Wir haben also eine grammatische Klasse “endlose Folge” & äquivalent mit diesem Ausdruck ein Wort, dessen Grammatik (eine gewisse) Ähnlichkeit mit der eines Zahlworts hat: “endlos”, oder “”. Dies hängt damit zusammen, daß wir unter den Kalkülen der Mathematik eine Technik haben, die wir ‘mit einem gewissen Recht 1-1 Zuordnung der Glieder zweier endloser Folgen’ nennen können, weil sie mit einem solchen gegenseitigen Zuordnen der Glieder sogenannter ‘endlicher’ Klassen Ähnlichkeit hat. Daraus nun, daß wir (eine) Verwendung für eine Art von Zahlwort haben, welches, gleichsam, die Anzahl der Glieder einer endlosen Reihe bezeichnet, folgt nicht daß es auch irgendeinen Sinn hat von der Zahl des Begriffes “endlose Folge” zu reden, daß wir hier irgendwelche Verwendung für etwas Zahlwortähnliches haben. Es gibt eben keine grammatische Technik, die die Verwendung so eines Wortes nahelegte. Denn ich kann freilich den Ausdruck bilden: “Klasse aller Klassen, die (mit) der Klasse ‘endlose Folge’ zahlengleich sind” (wie auch den: “Klasse aller Engel die auf einer Nadelspitze Platz haben”) aber dieser Ausdruck ist leer, solang es keine Verwendung für ihn gibt. Eine solche ist nicht: noch zu entdecken, sondern: erst zu erfinden
An interesting question is: What connection does ℵ0 have with the cardinal numbers, the number of which it is supposed to be? ℵ0 would apparently be the predicate “infinite series,” in its application to the series of cardinal numbers & similar mathematical constructs. It is important here to grasp the relationship between a series in the non-mathematical sense & one in the mathematical sense. It is, of course, clear that in mathematics we do not use the term “sequence of numbers” in the sense of “a series of numerical symbols,” even though, naturally, there is a connection between the use of one expression and the other. A railroad is not a train; nor is it something similar to a train. A sequence in the mathematical sense is a type of construction for sequences of linguistic expressions. We thus have a grammatical class “infinite sequence” and, equivalent to this expression, a word whose grammar bears (a certain) resemblance to that of a numeral: “infinite,” or “.” This is related to the fact that among the calculi of mathematics we have a technique that we can, with some justification, call a “1-to-1 correspondence of the terms of two infinite sequences,” because it bears a resemblance to such a mutual correspondence of the terms of so-called “finite” classes. However, the fact that we have a use for a kind of numeral that, as it were, serves as the designation for the number of terms in an infinite series does not imply that it makes any sense to speak of the number of the concept “infinite sequence,” or that we have any use here for something numeral-like. There is simply no grammatical technique that would suggest the use of such a word. For I can certainly form the expression: “class of all classes that are numerically equal to the class ‘infinite sequence’” (as well as: “class of all angels that can fit on the head of a pin”), but this expression is empty as long as there is no use for it. Such a use is not yet to be discovered, but rather: first to be invented
§Ms-121
44v[2]39 Denke, ich legte ein dem Schachbrett ähnliches Spielbrett vor Dich, setzte Schachfiguren ähnliche Figuren darauf, – erklärte: “Das ist der ‘König’, das sind die ‘Ritter’, das die ‘Bürger. – Mehr wissen wir von dem Spiel noch nicht; aber das ist immerhin etwas. – Und mehr wird vielleicht noch entdeckt werden.”
Imagine I placed a game board resembling a chessboard in front of you, placed figures resembling chess figures on it, and gave an explanation: “This is the ‘king,’ these are the ‘knights,’ and these are the ‘pawns.’ We don’t know any more about the game yet; but that is at least something. And perhaps more will yet be discovered.”
§Ms-121
60r[2] &60v[1]
40 25.12.1938
“Man kann die Brüche nicht ihrer Größe nach ordnen. – Dies klingt vor allem sehr interessant & merkwürdig. Es klingt interessant in ganz anderem Sinne, als, etwa, ein Satz aus der Differentialrechnung. Der Unterschied liegt, glaube ich, darin, daß ein solcher sich leicht mit einer Anwendung auf Physikalisches assoziiert, während jener Satz ganz & gar der Mathematik anzugehören gleichsam die Physik der mathematischen Gegenstände selbst zu betreffen scheint. Man möchte von ihm etwa sagen: er führe uns in die Geheimnisse der mathematischen Welt ein. Es ist dieser Aspekt vor dem ich warnen will.
December 25, 1938
“One cannot order fractions according to their size. – This sounds, above all, very interesting & strange. It sounds interesting in a completely different sense than, say, a theorem from differential calculus. The difference lies, I believe, in the fact that the latter is easily associated with an application to physics, whereas the former, belonging entirely to mathematics, seems to concern the physics of mathematical objects themselves, as it were. One might say of it, for example, that it introduces us to the secrets of the mathematical world. It is this aspect against which I wish to warn.”
§Ms-121
60v[2]41 Wenn es den Anschein hat … (Littlewood), dann ist Vorsicht geboten.
If it appears to be… (Littlewood), then caution is required.
§Ms-121
61v[1] &62r[1] &
62v[1] &
63r[1]
42 Wenn ich mir bei dem Satz, die Brüche können nicht ihrer Größe nach in eine Reihe geordnet werden, das Bild einer unendlichen Reihe von Dingen mache, & zwischen je zwei Nachbarbäumen neue Bäume in die Höhe schießen & nun wieder zwischen jedem Baum & seinem Nachbar neue Bäume & so fort ohne Ende, so haben wir hier (sicher) etwas, wovor einem schwindlig werden kann. Sehen wir aber, daß dieses Bild zwar sensationell, aber ganz unzutreffend ist, daß wir uns nicht von den Worten “Reihe”, “ordnen”, “existieren” & andern fangen lassen dürfen, so werden wir auf eine Darstellung des Sachverhalts zurückgehen, in der alles wieder trivial & gewöhnlich aussieht. so werden wir (wieder) auf die (Darstellung der) Technik des Bruchrechnens zurückgreifen an der nun nichts Seltsames mehr ist.
When I picture an infinite series of things in response to the sentence “fractions cannot be arranged in a series according to their size”—with new trees shooting up between every two neighboring trees, and then again between each tree and its neighbor, and so on without end—we have here (certainly) something that can make one dizzy. But if we see that this image, while sensational, is entirely inaccurate, and that we must not let ourselves be misled by the words “series,” “order,” “exist,” and others, then we will return to a presentation of the state of affairs in which everything looks trivial and ordinary again. Then we will (once again) resort to the (representation of) the technique of fraction calculation, in which there is nothing strange anymore.
§Ms-121
63r[2]43 Daß wir eine Technik erfinden, in der der Ausdruck “der nächst größere Bruch” keinen Sinn hat, daß wir ihm keinen Sinn gegeben haben, ist nichts Erstaunliches.
That we invent a technique in which the expression “the next largest fraction” has no sense, that we have not given it a sense, is nothing surprising.
§Ms-121
63r[3]44 Wenn wir eine Technik des fortgesetzten Interpolierens von Brüchen anwenden, so werden wir keinen Bruch den “nächst größeren” nennen wollen.
If we apply a technique of continuously interpolating fractions, then we will not want to call any fraction the “next largest”.
§Ms-121
63r[4] &63v[1]
45 Von einer Technik zu sagen, sie sei unbegrenzt, heißt nicht, sie laufe ohne aufzuhören weiter, wachse ins Ungemessene; sondern, es fehle ihr die Institution des Endes, sie sei nicht abgeschlossen. Wie man von einem Satz sagen könnte, es mangle ihm der Abschluß, wenn der Schlußpunkt fehlt oder von einem Spielfeld es sei nicht begrenzt , wenn ihm die Regeln des Spiels keine gezogene Grenze vorschreiben.
To say of a technique that it is unlimited does not mean that it continues endlessly, grows immeasurably; rather, it lacks the institution of an end, it is not complete. Just as one could say of a sentence that it lacks closure if the period is missing, or of a game that it is not bounded if the rules of the game do not prescribe a defined limit.
§Ms-121
63v[2] &64r[1]
46 Eine neue Rechentechnik soll uns ja eben ein neues Bild liefern, eine neue Ausdrucksweise; & wir können nichts Absurderes tun, als dieses neue Schema, diese neue Art von Gerüst, vermittels der alten Ausdrücke beschreiben zu wollen.
A new technique of calculation is supposed to provide us with a new picture, a new mode of expression; and we can do nothing more absurd than to want to describe this new schema, this new kind of framework, by means of the old expressions.
§Ms-121
64r[2]47 Was ist die Funktion eines solchen Satzes wie: “Es gibt zu einem Bruch nicht einen nächst größeren Bruch, aber zu einer Kardinalzahl eine nächst größere”? Es ist doch gleichsam ein Satz, der zwei Spiele vergleicht, [wie: im Damespiel gibt es ein Überspringen eines Steines, aber nicht im Schachspiel.]
What is the function of such a sentence as: “There is no fraction that is the next largest fraction to a fraction, but there is a next largest cardinal number”? It is, as it were, a sentence that compares two games, [for example, in draughts there is the possibility of jumping over a piece, but not in chess].
§Ms-121
64r[3]48 Wir nennen etwas “die nächst größere Kardinalzahl konstruieren” aber nichts “den nächst größeren Bruch konstruieren”.
We call something “constructing the next largest cardinal number” but nothing “constructing the next largest fraction”.
§Ms-121
64v[2]49 Wie vergleicht man Spiele? Indem man sie beschreibt – indem man das eine als Variation des andern beschreibt – indem man sie beschreibt & die Unterschiede & Analogien hervorhebt.
How does one compare games? By describing them – by describing one as a variation of the other – by describing them and highlighting the differences and analogies.
§Ms-121
64v[3] &65r[1] &
65v[1]
50 “Im Damespiel gibt es keinen König” – was sagt das? (Es klingt kindisch.) Heißt es nur, daß man keinen Damestein “König” nennt; & wenn man nun einen so nennte, gäbe es im Damespiel einen König? Wie ist es aber mit dem Satz: “Im Damespiel sind alle Steine gleichberechtigt, aber nicht im Schach”? – Wem teile ich dies mit? Dem, der die beiden Spiele (schon) kennt, oder einem der sie noch nicht kennt. Da scheint es, daß der erste unserer Mitteilung nicht bedarf & der zweite nichts von ihr hat.. Aber wie wenn ich sagte: “Schau! im Damespiel sind alle Steine gleichberechtigt …” oder noch besser: “Schau! in diesen Spielen sind alle Steine gleichberechtigt, in jenen nicht”. Aber was tut so ein Satz? Er führt einen neuen Begriff ein, einen neuen Einteilungsgrund (Einteilungsprinzip). Ich lehre Dich, die Aufgabe beantworten: nenne mir Spiele der ersten Art! etc. Ähnlich aber könnte man Aufgaben stellen: “Erfinde ein Spiel, in dem es einen König gibt”.
“There is no king in checkers”—what does that mean? (It sounds childish.) Does it merely mean that one does not call a checker piece “king”; & if one were to call one that, would there be a king in checkers? But what about the sentence: “In checkers, all pieces are equal, but not in chess”? – To whom am I communicating this? To someone who (already) knows both games, or to someone who does not yet know them. It seems that the former has no need for our communication & the latter gains nothing from it. But what if I said: “Look! In checkers, all pieces are equal…” or even better: “Look! In these games, all pieces are equal; in those, they are not.” But what does such a statement do? It introduces a new concept, a new criterion for classification (principle of classification). I teach you to answer the question: Name games of the first kind! etc. Similarly, one could pose questions such as: “Invent a game in which there is a king.”
§Ms-121
67r[3] &67v[1]
51 ‘Wir können die Brüche nicht ihrer Größe nach in eine Reihe, aber wir können sie in eine unendliche Reihe ordnen.’ Was hat der gelernt, der das nicht wußte? Er hat eine neue Art der Rechnung gelernt z.B.: “bestimme die Nummer des Bruches …”.
‘We cannot arrange the fractions in a series according to their size, but we can arrange them in an infinite series.’ What has he learned who didn't know that? He has learned a new kind of calculation, e.g.: “determine the number of the fraction…”.
§Ms-121
67v[2]52 Er lernt diese Technik – aber lernt er nicht auch, daß es so eine Technik gibt? Ich habe allerdings in einem wichtigen Sinne gelernt, daß es so eine Technik gibt; ich habe nämlich eine Technik gelernt, die sich jetzt auf alles mögliche Andre anwenden läßt.
He learns this technique – but doesn't he also learn that there is such a technique? I certainly learned, in an important sense, that there is such a technique; I have, namely, learned a technique that can now be applied to all sorts of other things.
§Ms-121
67v[3] &68r[1]
53 27.12.1938
‘Wie würdest Du nun das nennen?’
Nicht, “eine Methode die Zahlenpaare fortlaufend zu numerieren”? Und könnte ich nicht auch sagen: “die Zahlenpaare in eine Reihe zu ordnen”?
27.12.1938
‘How would you now call that?’
Not, “a method of continuously numbering pairs of numbers”? And couldn’t I also say: “arranging the pairs of numbers in a series”?
§Ms-121
68r[2]54 Lehrt mich nun die Mathematik, daß ich die Zahlenpaare in eine Reihe ordnen kann? Kann ich denn sagen: sie lehrt mich, daß ich das machen kann? Hat es denn Sinn zu sagen, ich lehre ein Kind, daß man multiplizieren kann – indem ich es lehre zu multiplizieren. Eher könnte man natürlich sagen, ich lehre ihm daß man Brüche multiplizieren kann, nachdem er Kardinalzahlen mit einander zu multiplizieren gelernt hat. Denn nun, könnte man sagen, weiß er schon was “multiplizieren” heißt. Aber wäre nicht auch das irreführend.
Does mathematics now teach me that I can arrange the pairs of numbers in a series? Can I say that it teaches me that I can do that? Does it make sense to say that I teach a child that one can multiply – by teaching it to multiply? One could, of course, say that I teach him that one can multiply fractions after he has learned to multiply cardinal numbers. For now, one could say, he already knows what “multiply” means. But wouldn't that also be misleading.
§Ms-121
68v[1]55 Wenn Einer sagt, ich habe den Satz bewiesen, daß man Zahlenpaare in eine Reihe ordnen könne; so ist zu antworten, daß dies ja kein mathematischer Satz ist, da man mit den Worten “Man”, “kann”, “die”, “Zahlenpaare” etc. nicht rechnet. Der Satz “man kann die etc.” ist vielmehr nur eine beiläufige Beschreibung der Technik die man lehrt, etwa ein nicht unpassender Titel, eine Überschrift zu diesem Kapitel. Aber ein Titel mit dem man (vorderhand) nicht rechnen kann.
If someone says that I have proved the proposition that one can arrange pairs of numbers in a series, then the answer is that this is not a mathematical proposition, because one cannot calculate with the words “one,” “can,” “the,” “pairs of numbers,” etc. The proposition “one can do the etc.” is rather just an incidental description of the technique that one teaches, perhaps a not inappropriate title, a heading for this chapter. But a title with which one (for the time being) cannot calculate.
§Ms-121
68v[2] &69r[1]
56 Aber, sagst Du, das ist es eben, was der logische Kalkül Freges & Russells tut: in ihm hat jedes Wort, was in der Mathematik gesprochen wird, exakte Bedeutung ist ein Element des Kalküls. In diesem Kalkül kann man also wirklich beweisen: “man kann multiplizieren”. Wohl nun ist er ein mathematischer Satz; aber wer sagt, daß man mit diesem Satz etwas anfangen kann? Wer sagt, wozu er nütze ist? Denn, daß er interessant klingt, ist nicht genug! Weil wir im Unterricht vielleicht den Satz gebrauchen: “Du siehst also, man kann die Brüche in eine Reihe ordnen”, sagt nicht daß wir für diesen Satz andere Verwendung haben, als die, ein einprägsames Bild mit dieser Rechnungsart zu verknüpfen.
But, you say, that is precisely what Frege’s & Russell’s logical calculus does: in it, every word that is spoken in mathematics has an exact meaning and is an element of the calculus. In this calculus, one can really prove: “one can multiply”. Well, it is a mathematical proposition; but who says that one can do something with this proposition? Who says what it is useful for? For the fact that it sounds interesting is not enough! Because we may use the proposition in instruction: “You see, one can arrange the fractions in a series,” does not mean that we have other uses for this proposition than to associate an easily remembered image with this type of calculation.
§Ms-121
69v[1]Wenn hier das Interesse an dem Satz haftet der ‘bewiesen wurde’, so haftet es an einem Bild, das (eine) äußerst schwächliche Berechtigung hat, (uns) aber durch seine Seltsamkeit reizt, wie etwa das Bild von der ‘Richtung’ des Verlaufs der Zeit. Es bewirkt einen leisen leichten Taumel der Gedanken
If the interest here is attached to the proposition that ‘was proved’, then it is attached to an image that has (a) very weak warrant, but which, because of its strangeness, appeals to us, like the image of the ‘direction’ of the passage of time. It causes a slight, gentle reeling of the thoughts.
§Ms-121
69v[2]57 Ich kann hier nur sagen: Trenne Dich so bald wie möglich von diesem Bild & sieh' das Interesse der Rechnung in ihrer Anwendung. (Es ist als wären wir auf einem Maskenball, auf dem jede Rechnung in seltsamer Verkleidung erscheint.)
I can only say here: separate yourself from this image as soon as possible & see the interest of the calculation in its application. (It is as if we were at a masked ball, where every calculation appears in strange disguise.)
§Ms-121
87v[3] &88r[1]
58 “Soll man das Wort ‘unendlich’ in der Mathematik vermeiden?” Ja; dort, wo es eine Bedeutung in den Kalkül mitzubringen scheint statt sie erst von ihm zu erhalten.
“Should one avoid the word ‘infinite’ in mathematics?” Yes; where it seems to bring a meaning into the calculus rather than receiving it from it.
§Ms-121
88r[2] &88v[1]
59 Die Redeweise: “wenn man aber in den Kalkül sieht, ist gar nichts Unendliches da” – natürlich eine ungeschickte Redeweise – aber sie bedeutet: ist es hier wirklich nötig das Bild des Unendlichen (der ungeheuern Größe) hier heraufzubeschwören? & wie ist dieses Bild mit dem Kalkül in Verbindung? denn seine Verbindung ist nicht die des Bildes ∣∣∣∣ mit 4.
The way of speaking: “if one looks at the calculus, there is nothing infinite there” – of course an awkward way of speaking – but it means: is it really necessary to conjure up the image of the infinite (the immense size) here? And how is this image related to the calculus? for its relationship is not that of the image ∣∣∣∣ with 4.
§Ms-121
88v[2] &88v[3] &
88v[4] &
89r[1]
60 So zu tun, als sei man enttäuscht, nichts Unendliches im Kalkül gefunden zu haben ist (freilich) komisch; nicht aber, die Frage zu stellen: : welches ist denn die alltägliche Verwendung des Wortes “unendlich”, die ihm seine Bedeutung für uns gibt, & was ist nun seine Verbindung mit diesen mathematischen Kalkülen?
To pretend to be disappointed at not having found anything infinite in the calculus is (of course) strange; but it is not strange to ask: what is the everyday use of the word “infinite” that gives it its meaning for us, and what is its relationship with these mathematical calculi?
§Ms-121
89r[2]61 Finitism & Behaviourism sind ganz ähnliche Richtungen. Beide sagen: hier ist doch nur … Beide leugnen die Existenz von etwas, beide zu dem Zweck, um (aus) einer Verwirrung zu entkommen.
Finitism and behaviorism are very similar directions. Both say: here there is only… Both deny the existence of something, both for the purpose of escaping a confusion.
§Ms-121
89r[3] &89v[1]
62 Was ich (hier) tue ist nicht Rechnungen als falsch zu erweisen; sondern das Interesse von Rechnungen einer Prüfung zu unterziehen. Ich prüfe etwa die Berechtigung, hier noch das Wort … zu gebrauchen. Eigentlich aber: ich fordere immer wieder zu so einer Untersuchung auf. Zeige, daß es sie gibt, & was da etwa zu untersuchen ist. Ich darf also nicht sagen: “So darf man sich nicht ausdrücken”, oder “Das ist absurd”, oder “Das ist uninteressant”, sondern: “Prüfe diesen Ausdruck in dieser Weise auf seine Berechtigung”; denn man kennt seine Berechtigung, weil seine Verwendung, noch nicht, damit, daß man …
What I am doing (here) is not to prove calculations as false; but to subject the interest of calculations to an examination. I examine, for example, the warrant for still using the word… here. In fact, I always call for such an investigation. Show that it exists, and what there is to examine. Therefore, I must not say: “One must not express oneself in this way,” or “That is absurd,” or “That is uninteresting,” but: “Examine this expression in this way for its warrant”; for one knows its warrant, but not yet its use, by the fact that…
§Ms-121
91r[2] &91v[1] &
92r[1] &
92v[1]
05.01.1939
“Denke Dir alle Stellen der Zahl π in einer Reihe aufgeschrieben. – – Du wirst mir doch nicht sagen, Du verstehst nicht, was ich meine!” – So gut, wie ich verstehe, was es heißt, 1000 Seelen gehen in einen cm³. Daß ich Bilder mit einem Ausdruck Bilder verbinde, ist kein Beweis dafür, daß ich über seine Verwendung nicht völlig im Unklaren bin oder seine Berechtigung beurteilen kann. wenn uns die Bilder nämlich nicht den Weg zu seiner Verwendung weisen. [→ [Zu der Bemerkung 4 Seiten früher]]: Ich mache darauf aufmerksam: Man kennt seine Berechtigung – weil seine Verwendung – noch nicht, weil man Bilder mit ihm verbindet.
05.01.1939
“Imagine all the digits of the number π written in a row. – – You won’t tell me that you don’t understand what I mean!” – Just as well as I understand what it means to say 1000 souls go into one cm³. That I connect images with an expression does not prove that I am completely in the dark about its use or can judge its warrant, if the images do not, in fact, point the way to its use. [→ [To the remark 4 pages earlier]]: I point this out: One knows its warrant – because one does not yet know its use, because one connects images with it.